Metodo di Cramer
Il metodo di Cramer è una formula esplicita per la soluzione di un sistema di equazioni lineari con un numero uguale di equazioni e incognite. Prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer.
In parole semplici, il metodo di Cramer utilizza i determinanti delle matrici per calcolare i valori delle incognite in un sistema di equazioni lineari.
Come funziona:
Supponiamo di avere un sistema di n equazioni lineari con n incognite, rappresentabile in forma matriciale come Ax = b, dove:
- A è la matrice dei coefficienti del sistema.
- x è il vettore delle incognite.
- b è il vettore dei termini noti.
Allora, il metodo di Cramer afferma che la soluzione per la i-esima incognita, x<sub>i</sub>, è data da:
x<sub>i</sub> = det(A<sub>i</sub>) / det(A)
Dove:
- det(A) è il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A</a> (deve essere diverso da zero per avere una soluzione unica).
- A<sub>i</sub> è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna della matrice A con il vettore b.
Passi per applicare il Metodo di Cramer:
- Scrivere il sistema in forma matriciale (Ax = b).
- Calcolare il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A</a> (det(A)). Se det(A) = 0, il metodo di Cramer non può essere applicato direttamente (il sistema potrebbe non avere soluzione o avere infinite soluzioni).
- Per ogni incognita x<sub>i</sub>, costruire la matrice A<sub>i</sub> sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore b.
- Calcolare il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A<sub>i</sub></a> (det(A<sub>i</sub>)).
- Calcolare il valore di x<sub>i</sub> usando la formula: x<sub>i</sub> = det(A<sub>i</sub>) / det(A).
- Ripetere i passaggi 3-5 per tutte le incognite.
Vantaggi:
- Formula esplicita per la soluzione.
- Utile per sistemi piccoli e per calcolare solo alcune incognite.
- Teoricamente elegante.
Svantaggi:
- Computationalmente inefficiente per sistemi grandi (richiede il calcolo di n+1 determinanti).
- Non applicabile se det(A) = 0.
- Suscettibile ad errori di arrotondamento nei calcoli con computer, specialmente per sistemi mal condizionati.
- Altri metodi, come l'eliminazione di Gauss, sono spesso più efficienti.
In sintesi:
Il metodo di Cramer è un metodo algebrico per risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando i determinanti. È concettualmente semplice ma computazionalmente costoso per sistemi di grandi dimensioni. E' utile capire il concetto di <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/matrice">matrice</a> e <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/sistema%20lineare">sistema lineare</a>.