Cos'è metodo di cramer?

Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer è una formula esplicita per la soluzione di un sistema di equazioni lineari con un numero uguale di equazioni e incognite. Prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer.

In parole semplici, il metodo di Cramer utilizza i determinanti delle matrici per calcolare i valori delle incognite in un sistema di equazioni lineari.

Come funziona:

Supponiamo di avere un sistema di n equazioni lineari con n incognite, rappresentabile in forma matriciale come Ax = b, dove:

• A è la matrice dei coefficienti del sistema.
• x è il vettore delle incognite.
• b è il vettore dei termini noti.

Allora, il metodo di Cramer afferma che la soluzione per la i-esima incognita, x_i, è data da:

x_i = det(A_i) / det(A)

Dove:

• det(A) è il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A</a> (deve essere diverso da zero per avere una soluzione unica).
• A_i è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna della matrice A con il vettore b.

Passi per applicare il Metodo di Cramer:

1. Scrivere il sistema in forma matriciale (Ax = b).
2. Calcolare il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A</a> (det(A)). Se det(A) = 0, il metodo di Cramer non può essere applicato direttamente (il sistema potrebbe non avere soluzione o avere infinite soluzioni).
3. Per ogni incognita x_i, costruire la matrice A_i sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore b.
4. Calcolare il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/determinante%20della%20matrice">determinante della matrice A_i</a> (det(A_i)).
5. Calcolare il valore di x_i usando la formula: x_i = det(A_i) / det(A).
6. Ripetere i passaggi 3-5 per tutte le incognite.

Vantaggi:

• Formula esplicita per la soluzione.
• Utile per sistemi piccoli e per calcolare solo alcune incognite.
• Teoricamente elegante.

Svantaggi:

• Computationalmente inefficiente per sistemi grandi (richiede il calcolo di n+1 determinanti).
• Non applicabile se det(A) = 0.
• Suscettibile ad errori di arrotondamento nei calcoli con computer, specialmente per sistemi mal condizionati.
• Altri metodi, come l'eliminazione di Gauss, sono spesso più efficienti.

In sintesi:

Il metodo di Cramer è un metodo algebrico per risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando i determinanti. È concettualmente semplice ma computazionalmente costoso per sistemi di grandi dimensioni. E' utile capire il concetto di <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/matrice">matrice</a> e <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/sistema%20lineare">sistema lineare</a>.